Situación Física

Fundamentos Físicos

El pozo de potencial 

Instrucciones para el manejo del applet 1: Búsqueda de los niveles de energía

Ejercicio 1: Medición indirecta de la masa de la partícula

Instrucciones para el manejo del applet 2

Ejercicio 2: Niveles de energía y funciones de onda

Presentación de los resultados

Applet 1

Applet 2

Determinación numérica de los estados energéticos 

Autores: Dpto. de Física CUJAE: Margarita Fernández Limia, Adriana Mavilio Núñez,  Alfredo Moreno Yera, Amparo Patiño Castro, Hilda Heredia Díaz. 

Fuentes: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar,  España.

Objetivo:

- Analizar la dependencia de las energías discretas de un pozo de potencial rectangular finito con su profundidad y su ancho

- Determinar la masa de partícula que se encuentra en el pozo.

Situación Física:

Se considera que una micropartícula se halla en un pozo de potencial rectangular finito al cual puede variarse la profundidad y el ancho

Fundamentos Físicos

El pozo de potencial finito unidimensional

La expresión matemática del pozo finito unidimensional es:

Como la función potencial no depende del tiempo, entonces se trata de un caso estacionario. La función de onda que describe el estado de una partícula cuya interacción con su entorno físico puede ser representado por una tal función potencial, se escribe como:

donde E es la energía correspondiente al estado de la micropartícula descrito por la función de onda. La energía de culquier estado cuántico debe cumplir que E > Umin, en nuestro caso E > 0.

Por tanto, resolver el problema de la micropartícula significa determinar todas las posibles funciones de onda (o estados) para un potencial U(x) dado. Esto quiere decir que debemos determinar todas los posibles valores de energía E y las funciones correspondientes .

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Schrödinger donde se ha escrito U(x) como Ep(x):

se obtiene la ecuación estacionaria de Schrödinger para el término de la función de onda que depende sólo de las coordenadas espaciales:

El pozo de potencial representado en la figura es simétrico respecto al cero de coordenadas, de modo que la región x < 0 es equivalente a la región x > 0, por lo que vamos a considerar sólo esta última en el análisis que sigue. Para x > 0 distinguimos las regiones:

Región I:   0 < x < a/2         y            Región II:    x > a/2

como físicamente diferentes. Debemos entonces resolver el problema estacionario para ambas regiones de modo que:

donde

y

Reordenando las ecuaciones anteriores, obtenemos:

Definimos ahora los siguientes parámetros energéticos:

Las soluciones de las ecuciones correspondientes a las regiones de interés se expresan en término de estos parámetros como sigue:

donde se tienen en cuenta las condiciones de contorno

Como el potencial es simétrico respecto al cero de coordenadas, podemos plantear:

y como consecuencia, teniendo en cuenta que solamente el módulo al cuadrado de la función de onda es lo que tiene sentido físico, deberá cumplirse que:

y de aquí se obtiene:

por lo que la función de onda deberá ser par ó impar:

Plantendo esta condición para la función de la región I, y sustituyendo la solución correspondiente, encontrada anteriormente:

De modo similar se procede con la función , pero en este caso deben analizarse los casos E<Eo y E>Eo por separado, puesto que la función de onda es topológicamente diferente. En el primer caso E<Eo (k = i ß) la función debe ser una exponencial decreciente (para x  positivas), esto es  al coeficiente B₂ se le exige que sea cero, de modo que la función de onda no se indefina para x muy grandes. Cuando E<Eo la probabilidad se halla en la región del pozo o en sus cercanías, esto significa que para estos valores de energía la partícula se halla enlazada a un centro atractivo, representado en este caso por el pozo. En el segundo caso E>Eo (k real)  la función de onda resulta oscilante con una longitud de onda   ~ 1 / (E-Eo)^1/2 mayor que la correspondiente a la función de onda de la región 1~ 1 / (E)^1/2. Mientras mayor es la energía de la micropartícula esta diferencia desaparece, representando el pozo en este caso una perturbación despreciable para la partícula. En el caso E>Eo la partícula puede hallarse en cualquier región del espacio, no necesariamente alrdedor del pozo, lo cual significa que para estos valores de energía la partícula no se encuentra enlazada al centro de atracción representado por el pozo. A continuación escribimos las expresiones correspondientes de :

Hay que exigir ahora que la función y su primera derivada respecto a x sean continuas en x = a/2, o sea:

Esto lo haremos solamente para el caso E<Eo. Sustiyendo las correspondiente expresiones en las relaciones anteriores, obtenemos un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas (E, A₁ y A₂):

Dividiendo la segunda ecuación entre la primera:

Simplificando y escribiendo explícitamente las funciones seno y coseno, resulta:

Recordemos que los parámetros q y ß dependen de la energía, por lo que estas ecuaciones se traducen en exigencias para los posibles valores de energía de los estados pares e impares, exigencias que se derivan de uno de los postulados de la Mecánica Cuántica, que la función de onda debe ser continua, así como su primera derivada respecto a las coordenadas.

El valor de la constante A₂ se halla en función de la constante A₁, a partir de las ecuaciones de continuidad. Este último parámetro, determina la escala vertical de la función de onda, y se puede obtener a partir de la condición de normalización:

Los niveles de energía para los estados simétricos (pares) y antisimétricos (impares) se determinan operando y simplificando las ecuaciones trascendentes encontradas con antelación:

q·sen(qa/2)-ß·cos(qa/2) = 0   (1)

ß·sen(qa/2)+q·cos(qa/2) = 0   (2)

Las raíces de las dos ecuaciones nos dan los niveles de energía de la partícula en el pozo de potencial para E<E_o. 

Sustituyendo las expresiones de k y q en la ecuación (1), obtenemos:

tan(qa/2) = ß / q = ((E₀ -E) / E)^1/2 

q a/2 = arctan( ß / q) = arctan((E₀ -E) / E)^1/2 )

(2m/h²)^1/2 a/2 = arctan((E₀ -E) / E)^1/2 ) / E^1/2 

LLamando y al miembro de la derecha, se obtiene la siguiente relación:

y = arctan((E₀ -E) / E)^1/2 ) / E^1/2 ;    (3a)

y = (2m/h²)^1/2 (a/2 );      (3)

que es válida para los estados de simetría par. La función energética y depende de la semianchura del pozo linealmente con pendiente:

(2m / h²)^1/2 

De modo similar se puede obtener una expresión para los estados de simetría impar.

Nota:  En todas las ecuaciones anteriores h es la constante de Planc dividida entre 2pi

En el applet que viene a continuación, vamos a determinar los niveles de energía de un sistema mecánico-cuántico simple, un pozo de potencial, que consiste en una región de anchura a y de altura E₀

Para ello, no se precisará resolver la ecuación transcendente de la energía. Seguiremos el procedimiento de prueba y error, ensayando con valores de la energía hasta encontrar aquél en el que la solución de la ecuación de Schrödinger tienda asintóticamente a cero cuando x se hace grande.

La búsqueda no se realizará al azar, sino que estará guiada por la siguiente estrategia que conducirá rápidamente a encontrar la solución aproximada:

El nivel de energía estará comprendido entre dos valores próximos para los cuales la solución de la ecuación de Schrödinger diverge positivamente y negativamente, respectivamente.

Si para las energías de prueba, ocurre que

El nivel de energía buscado estará comprendido entre E₁ y E₂. Disminuyendo el intervalo (E₁, E₂) encontraremos el nivel de energía dentro de la precisión requerida.

Veamos un ejemplo: sea un pozo de potencial de 2 unidades de anchura y 5 de altura. Buscamos los niveles de energía que corresponden a funciones de onda de paridad par. Para el nivel de energía E₁=0.85 la solución de la ecuación de Schrödinger diverge positivamente y para E₂=1.25 diverge negativamente. Por tanto, hemos localizado el intervalo (0.85, 1.25) donde existe un nivel de energía. Disminuyendo progresivamente el intervalo, encontraremos el nivel de energía dentro de la precisión requerida en el valor 1.15.

Instrucciones para el manejo del programa

En el applet se representa sólo la mitad del pozo o sea, el pozo y las funciones de onda para los valores de x>0. 

• Se introduce la altura y la anchura del pozo de potencial dentro de los límites señalados. En la ventana del applet solamente se representa medio pozo de potencial.

• Se pulsa el botón titulado Nuevo, situado debajo

• Se selecciona el botón de radio titulado Par, que indica que vamos a buscar primero los niveles de energía cuyas funciones de onda sean simétricas.

• Ensayar un valor de la energía, introduciéndolo en el control de edición titulado Energía. Este valor, naturalmente, no puede ser cero, ni mayor que la altura del pozo de potencial.

• Pulsar el botón Hallar, para que se represente la solución de la ecuación de Schrödinger para esta energía.

• Probar con otro valor de la energía y así sucesivamente, siguiendo la estrategia comentada anteriormente, hasta encontrar aquél valor que hace que la solución de la ecuación de Schrödinger tienda a cero cuando x se hace grande, es decir, tenga como asíntota horizontal la recta que señala el nivel de energía.

• Cuando se acumulen muchas funciones de onda en la ventana se puede limpiar el área de trabajo pulsando en el botón Borrar.

Ejercicio 1:  Determinación de la masa de la micropartícula Procesamiento de los datos: 

1) Abra un documento en Excel e introduzca en una celda el valor de la constante de Planck dividida entre 2pi:    h = 1.056E-34 Js. En otras celdas introduzca los factores de escala para la energía y las coordenadas (ver ejemplo), factorE = 1.0E-20 (J), factor escala =7.85E-10 (m).

2) Construya una tabla como la del ejemplo. Fije el valor de profundidad de pozo a 5 unidades. 

3) Para diferentes valores de semianchura del pozo (a/2) determine el valor de energía de un mismo estado con simetría par (como se explicó en las instrucciones de manejo del applet). 

Introduzca estos valores en la tabla, multiplicando las semianchuras por el factor de escala, y la profundidad y las energías por el factorE.

Tabla ejemplo

3) En la primera celda numérica de y introduzca la fórmula correspondiente  y en función de la energía y de la profundidad del pozo Eo que aparece en (3a) y cópiela en las celdas correspondientes.  

4) Marque los rangos numéricos de la variable y y de a/2. Construya la gráfica del tipo XYDispersión de y vs a/2.  Agregar Línea de Tendencia Lineal. 

5) Confeccione la tabla adicional que parece en el ejemplo para ubicar los valores de la pendiente de recta de ajuste. 

= Pendiente(rango_y,rango_x)

6) En otra celda introduzca la fórmula para hallar la masa de la partícula en función de la pendiente de la recta de ajuste, guiándose por la expresión (3) del modelo. 

Ejercicio 2:  Características del espectro discreto y de las funciones de ondas correspondientes al pozo finito

1. Utilice el segundo applet. Para un par de valores de ancho y profundidad de pozo se le presentan todos los niveles discretos de energía de forma ordenada. Observe las características del estado fundamental. Al incrementarse la energía los estados con cierta regularidad en cuanto a su paridad. 

Presentación de los resultados

En el informe debe presentar las tablas, gráficas y resultados obtenidos y debe responder las siguientes interrogantes:

- Analice las características del estado fundamental.

- Analice la regularidad que presentan los estados ordenados energéticamente en cuanto a su paridad. ¿Qué información se obtiene acerca de los puntos de mayor probabilidad de hallar a la partícula cuando se encuentre en estos estados?

- Analice cómo cambia el espectro energético al cambiar la profundidad y el ancho del pozo?

-  Analice si la partícula tiene probabilidad de hallarse fuera del pozo y como depende esto de la energía de la misma